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6. 우연에 대한 생각

교양기타/재미있는 기초통계 | 2012.12.03 15:35 | Posted by 깨비형

1. 우연에 대한 생각 


1) 머피의 법칙과 샐리의 법칙

○ 머피의 법칙(Murphy's Law)

  1949년 에드워드 공군기지에서 있었던 충격완화장치 실험이 실패로 끝났는데 한 기술자의 사소한 배선실수였다. 이 때 현장에 있던 머피(미국의 항공기 엔지니어)가 발견한 인생법칙이다. 뭔가 잘 못될 수 있는 일이라면 틀림없이 누군가 그 잘못을 저지르게 마련이다 "머피의 법칙은 '잘못될 가능성이 있는 것은 어김없이 잘못되어 간다'는 의미로, 인생살이에 있어서 나쁜 일은 겹쳐서 일어난다는 설상가상의 법칙으로 인용된다. 그룹 DJ.DOC가 불러 히트한 (머피의 법칙)에서 유행된 말로 '공부를 안하면 몰라서 틀리고, 어느 정도하면 헷갈려서 틀린다.' 등이 그 예이다. '찾는 물건은 항상 마지막으로 찾아보는 장소에서 발견된다'거나... '그냥 지나칠 때는 자주 오던 버스도 타려고만 하면 죽어도 안 온다'거나... '가려움은 손이 닿기 어려운 부위일수록 그 정도가 심해진다'거나... 학년 초에 '저 애만 안 걸렸으면' 하는 애가 꼭 짝이 된다거나... 

  그렇다면 “머피의 법칙”의 반대는 무엇일까? 

  "잘 될 가능성이 있는 일은 항상 잘 된다"는 의미의 샐리의 법칙 (Shally's Law)이다. '시험 당일 아침에 우연히 펼쳐 봤던 책에서 문제가 나온다'든지, '지각이라 잔뜩 기가 죽어 교실 문을 여는데 선생님이 아직 안들어오셨다'거나, '공부하다 졸리운 참에 갑자기 정전된다'거나..... '샐리'는 영화 '해리가 샐리를 만났을 때'에서 맥 라이언이 맡은 역으로 엎어지고 넘어져도 결국은 해피엔딩을 이끌어내는 샐리의 모습에서 힌트를 얻었다고 한다.


2) 개념설명

① 머피의 법칙

- 머피의 법칙이란 : 세상일은 대부분 안 좋은 쪽으로 일어나는 경향이 있는데 이를 '머피의 법칙'이라고 한다. 버터를 바른 면이 항상 바닥을 향해 떨어진다거나 하필 내가 선 줄이 가장 늦게 줄어든다거나 하는 것이다. 머피의 법칙은 세상을 비관적으로 바라본다는 부정적인 측면도 가지고 있으나, 한편으로는 법칙이라는 말을 통해 사람들은 자신에게만 일어나는 현상이 아니라 누구에게나 일어나고 있는 보편적인 현상이라는 사실을 깨달음으로써 위안을 얻는다. 

② 머피의 법칙에 대한 논리적 근거

- 머피의 법칙에 대한 논리적 근거 : 머피의 심리적이거나 통계적으로 또는 과학적으로 설명될 수 있는 것들이 많으며 세 가지 경우로 분류하여 논리적 근거를 제시할 수 있다. 

- 머피의 법칙에 대한 근거 제시 1

첫째, 서두르고 긴장하다 보니 자신이 실수를 해서 실제로 일이 잘못될 확률이 높아지는 경우이다. 긴급한 이메일을 보내려 할 때 멀쩡하던 네트워크가 다운된다거나, 중요한 데이트를 앞두고 잘 차려 입은 옷에 음료를 쏟는다거나 하는 것이다.

- 머피의 법칙에 대한 근거 제시 2

둘째, 실제 확률은 50%지만 심리적 기대치가 높아서 잘못될 확률이 높은 경우이다. 일이 잘된 경우에 받은 좋은 기억은 금방 잊혀 지지만, 일이 잘못된 경우에 받은 안 좋은 기억은 머릿속에 오래 남는다. 다른 한편으로는 기대 섞인 비교대상의 선정에 기인한다. 예를 들어 정체된 도로에서 자신이 속한 차선이 정체가 심하다고 느끼는 것은 앞서가는 옆 차선 차량과의 비교에 의한 것이다. 내 차와 옆 차선의 차가 그림 1과 같이 20초를 주기로 섰다 갔다를 반복하는 경우를 생각해 보자. 




  두 차의 속도는 위상차를 갖고 주기적으로 변하며 평균속도는 10m/s로 동일하다. 이 때 주행거리는 속도그래프를 적분한 아래 면적에 해당된다. 아래 그래프에서 보는 바와 같이 두 차량은 동일 지점에서 시작해서 섰다 갔다를 반복하는 동안 동일한 거리를 주행하게 된다. 그러나 주행 과정을 비교해 보면, 옆차에 비하여 내차가 항상 뒤처져 있는 것을 알 수 있다. 내차가 앞서가는 시간은 1주기 20초 중 5초에 불과하다. 나머지 15초는 옆차가 내차 보다 앞서서 달린다. 그러니 그 차와 비교하면 내가 선택한 차선에 불만을 가지게 되는 것이다. 

  그러나 내가 비교 대상으로 삼던 옆 차 대신 그 차와 같은 차선에서 약 50m 뒤를 따라오고 있는 차를 비교 대상으로 삼는다면 상황은 거꾸로 된다. 그래프에서 가는 선으로 나타난 바와 같이 그 차는 항상 나보다 뒤에서 달리고 있다. 그 차 운전자 입장에서는 내차를 보면서 머피의 법칙을 생각하고 있을지도 모를 일이다. 

- 머피의 법칙에 대한 근거 제시 3

셋째, 실제 확률은 50%가 아닌데, 사람들이 50:50일 것으로 잘못 착각하는 경우이다. 이 경우도 과학적으로나 통계학적으로 설명이 가능하다. 태양이 동서남북 어디서든지 뜰 수 있는데 왜 하필 동쪽에서만 뜨는가 하고 불평하는 사람은 아무도 없다. 이러한 문제를 결정론적 문제라고 한다. 반면, 바람이 어느 방향에서 불어올 것인가 하는 것은 다소 무작위적이다. 뉴턴은 천체의 운동이나 물체의 움직임에 관한 자연현상을 모두 결정론적으로 설명하려고 하였다. 반면 예측이 불가능하고 무작위적인 것을 일명 '카오스'라고 한다. 실제의 자연현상은 결정론적인 것과 무작위적인 것이 복합되어 나타난다. 일상용어로 표현하면 우연과 필연이 공존하고 있는 것이다.


예) 버터 바른 빵이 식탁에서 떨어지는 예를 생각해 보자. 동전을 던지는 것과 달리 이 경우에는 앞뒷면이 결정되는 확률이 50%가 아니다. 우리가 제대로 인지하지 않고 있는 가정과 조건이 여럿 숨어 있기 때문이다. 식탁의 높이가 약 75cm이고, 빵의 크기가 약 15cm라는 가정, 지구 중력장의 크기가 9.8m/s2라는 조건, 그리고 빵과 식탁 사이의 마찰계수가 일정 범위 내에 있다거나, 주위에 공기유동이 거의 없다거나 하는 등의 가정들이 주어져 있고 버터 바른 면이 식탁위에 있을 때 항상 위를 향하고 있다는 조건하에 빵이 식탁에서 떨어지도록 가해진 외력이나 떨어지는 순간 빵과 식탁사이의 마찰력에 의하여 회전력 즉 토크가 발생된다. 이 토크에 의해 빵은 자유낙하하면서 일정 회전각속도를 갖고 돌게 된다. 

  결국 바닥에 닿을 때까지 몇 바퀴를 회전할 것인가 하는 것이 문제의 핵심이다. 물론 엎어져서 떨어진다는 것이 꼭 정확하게 180도를 회전한다는 것은 아니다. 회전각도가 90-270도 사이로 떨어지면 버터 바른 면이 바닥을 향한다.

  그림 2는 빵이 떨어지는 과정을 시뮬레이션 한 결과이다. 떨어지는 과정에서 외부   교란 변수에 따라서 회전각이 바뀔 수는 있다 (손으로 세게 쳐서 떨어지거나, 바람이 갑자기 분다거나) 하지만 270도를 넘거나 90도에 못 미치는 경우는 극히 드물다. 우리에게 주어진 조건하에서는 버터 바른 면이 바닥을 향하는 것은 우연이 아니라 그렇게 되게끔 결정되어 있는 필연인 셈이다. 

- 머피의 법칙에 대한 논리적 근거의 해답 : 뉴턴의 법칙이나 케플러의 법칙과 같이 완전한 과학법칙의 범주에 들지는 않아도 심리적, 통계적 현상이 복합되어 나타나는 일종의 과학 법칙이다. 또 나에게만 일어나는 재수 없는 법칙이 아니라 누구에게나 일어나는 보편적 법칙이다. 


③ 사례보기

- 우연에 대한 사례


 


여기 우연에 대한 특이한 사례가 있다.


 동생의 TEPS 접수를 대신하려고 동생한테서 TEPS홈페이지의 ID와 패스워드를 알아 놓은 것이 약 5일전.  온라인 접수가 간편하다고 하길래 별 걱정없이 홈페이지에 접속해 로그인을 했는데  5일 동안 줄곧 접수를 하려고 접수 수속을 밟을 때마다 중간에 갑자기 


 '주민등록번호가 잘못 되었습니다'  라고 나와 

 TEPS 시험본부에 전화를 해서 확인해 본 결과, 상황은 다음과 같았다.


 - TEPS 계정에는 동생의 것이 아닌 주민등록번호가 들어가 있음.


 - 가입시 가입자(동생 아님 本人)가 주민등록번호를 몇 자 틀리게 입력했는데, 그것이 실제로 존재하는 다른 주민등록번호와 일치한 것으로 보임.


 - 따라서 이름은 동생, 주민등록번호는 1~2자리 다른 다른 사람의 것으로 계정에 입력되어 있는 것임.


 - 가입시에는 주민등록번호의 유효성만 판단, 실제 이름과 주민번호의 일치확인은 시험접수시에만 하므로 이런 상황이 발생한 것임.


   

2. 확률


     1) 노벨 경제학상 루카스 교수

 1995년도 노벨 경제학상의 수상자로 '합리적 기대' 이론을 주창한 미국 시카고 대학의 루카스교수가 선정됐다. 그런데 이 소식을 듣고 루카스 교수의 전(前)부인인 리타가 더 좋아했다고 한다. 왜냐하면 노벨상 상금 100만달러 중에서 그 절반인 50만달러(약5억원)를 그녀가 차지하게 되었기 때문이다. 두 사람은 지난 88년에 합의 이혼했다. 리타는 "부인은 루카스 교수가 노벨상을 타는 경우 그 상금의 50%를 차지할 권리를 가진다"는 조항을 이혼합의서에 삽입했다. 수상 가능성이 낮다고 판단해서인지 아니면 빨리 이혼하고 싶어서인지는 몰라도 루카스 교수도 이 조항에 반대하지 않았다. 별 따기보다 어렵다는 노벨상의 수상가능성에 대해 당대의 석학과 그 부인이 주관적 확률로 대결을 한판 벌인 것이다. 그 후 7년이 지난 95년에 드디어 루카스 교수가 노벨 경제학상 수상자로 선정되었다. 리타의 '합리적 기대'에 바탕을 둔 주관적 확률이 루카스 교수의 것보다 더 정확했다는 것이 입증된 셈이다. 남편은 '합리적 기대' 이론으로 노벨상을 받게 되었고, 부인은 '합리적 기대' 이론을 주관적 확률계산에 적용하여 상금의 반을 차지하게 되었으니 역시 그 남편에 그 마누라였다. 루카스 교수는 신사답게 약속대로 상금을 전 부인과 나누었다. 루카스 교수가 지기는 했으나 법에 따른 전 부인의 합리적 기대를 어겼다면 그의 합리적 기대이론에 어울리지 않았을 것이다.


2) 개념설명

① 확률의 정의

- 확률이란 : “만약 이 일을 여러 번 실행하면 어떠한 일이 일어날 것인가”라는 의문에서 출발한다.  

- 확률의 예(동전 던지기) : 동전을 던지는 횟수가 늘어날수록 궁극적으로는 앞면이 나타날 확률은 0.5에 매우 가깝게 된다. 아래 자료는 실제로 동전을 던졌던 사람들의 실험 결과이다.

  위 결과와 같이 어떤 일이 오랫동안 되풀이해서 발생한다면 그 결과는 정규적인 분포를 갖게 되며 이것을 확률로 표시한다. 동전던지기에서 “앞면이 나올 확률은 0.5 ”라고 한다. 그것은 동전을 10번 던지면 반드시 5번 앞면이 나온다는 의미가 아니라 무한히 반복할 때 절반(0.5)이 앞면이 나온다는 의미이다.

- 확률의 예(죽음) : 우리는 어떤 사람이 내년에 죽을 것인가에 대해서 예측할 수는 없다. 그러나 만약 수백만 명의 사람들을 관측한다면 죽음에 대한 예측이 가능하다. 통계센터에서 20살에서 24살 사이의 남자가 어떤 해에 죽을 가능성이 0.0015이고(만 명 중 15명 사망) 동년배의 여자가 죽을 확률은 0.0005라고 하였다. 만약 어떤 보험회사에서 20살에서 24살 사이의 사람들에게 여러 가지 보험을 판매한다면, 남자에게 판매된 보험금의 약 0.15%(=0.0015)와 여자에게 판매된 보험금의 약 0.05%(=0.0005)는 내년에 사망할 누군가의 가족에게 지급될 것이다. 그러므로 남자에게는 여자보다 더 높은 금액의 보험료를 받아야 되는 것이다.

- 확률 0, 1에 관계 : 확률은 0과 1사이의 값을 갖는다. 확률이 0 이라는 것은 전혀 발생하지 않는 다는 것이고 확률이 1 이라는 것은 반드시 발생하는 것을 의한다. 1에 가까울수록 발생할 확률이 높고, 0 에 가까울수록 발생할 확률이 낮다고 한다. 동전을 던졌을 때 앞면이 나올 확률이 1 이라고 한다면 그 동전은 양쪽 다 앞면인 동전일 것이다.

- 개인적 확률 : 확률 중 앞에서 본 루카스 교수 부인과 같이 주관적인 판단으로 갖는 확률값을 개인적 확률이라고 한다. 우리들은 일상생활에서 개인적 확률을 많이 사용한다. 그래서 스포츠 경기에서 어느 팀이 이길 확률에 대한 사람들의 주장이 다 다른 것이다.

② 사례보기

  

  몬티 홀은 1960년대 말부터 대단한 인기를 끌었던 미국의 TV 쇼 프로그램의 사회자이다.


  이 프로그램의 진행방식은 다음과 같다. 무대에 커튼으로 가려진 3개의 문이 있는데 이 중 한 개의 문 뒤에는 비싼 상품(자동차나 밍크 코트 등)이 숨어있고, 나머지 두 개의 문 뒤에는 이상한 물건(애완견 먹이나 삐쩍 마른 염소)이 숨어 있다. 예를 들어, 출연자가 1번 문을 선택했을 때 사회자는 염소가 있는 2번 문을 열어 보이며 출연자에게 한 번의 기회를 준다. 하지만 출연자를 갈등하게 만드는 것이다. 사회자는 자동차가 어느 문 뒤에 있는지를 이미 알고 있다. " 여기 2번 문에 염소가 있습니다. 그렇다면 1번이나 3번 문 뒤에 당신이 갖고 싶어하는 자동차가 있겠군요. 아까 선택한 1번 문을 고집하시겠어요? 아니면 마음을 바꾸어 3번 문을 선택하시겠어요?" 출연자가 상품을 갖기 위해서는 사회자의 유혹대로 새로운 문으로 옮기는 게 유리할까? 아니면 최초에 선택했던 그 문을 고집하는 게 유리할까? 이것을 몬티 홀 딜레마 또는 몬티 홀 문제라고 부른다.

  매주 일요일마다 발행되는 잡지 [퍼레이드에는 [매릴린에게 물어보세요] 라는 고정 칼럼란이 있다. 매릴린은 현재 세상에서 가장 아이큐가 높은 것으로(IQ 228) 기네스북에 올라 있는 사람인데 1991년 9월에 한 독자가 매릴린에게 몬티 홀 딜레마에 관한 질문을 던졌다. 매릴린은 "새로운 문으로 옮기는 게 유리해요."라고 대답했다. 이후 엄청난 수의 독자들이 매릴린의 대답에 반응을 보였고, 그들 중 대부분은 매릴린의 판단이 틀렸다는 비판이었다. 비판자들 중에는 유명한 수학자들과 과학자들도 있었다. 1996년에 작고한 정수론의 대가 폴 에어디쉬도 이 문제를 한번 쓰윽 보고는 "그건 생각할 필요도 없는 거야. 다른 문으로 옮기든 원래 문을 고집하든 확률은 똑같을 테니까." 라고 대답했다고 한다. 폴 에어디쉬는 [우리 수학자 모두는 약간 미친 겁니다], [화성에서 온 수학자]라는 책을 통해 우리에게 잘 알려진 수학자이다. 


 경우를 따져보아서 과연 그런지 알아볼까요? 편의상 자동차가 1번 문 뒤에 있다고 할 때 출연자가 어느 문을 선택하는가에 따라 다음과 같은 경우가 있다.


  1) 출연자가 1번 문을 선택했을 경우 사회자는 2번(또는 3번) 문을 열어서 염소를 보여 줄 것이다. 이때 출연자가 1번 문을 고수한다면 당첨될(자동차를 타게 될) 것이고, 3번문으로 옮긴다면 낙첨될(염소를 보게 될) 것이다.


  2) 출연자가 2번문을 선택했을 경우 사회자는 3번문을 열어서 염소를 보여 줄 것이다. 1번 문을 열어줄 수는 없을 테니깐. 이때 출연자가 2번 문을 고수한다면 낙첨될 것이고, 1번 문으로 옮긴다면 당첨 될 것이다.


  3) 출연자가 3번문을 선택한 경우는 2)와 마찬가지이다.


  표로 정리하면 다음과 같다. 자동차가 1번 문 뒤에 있는 경우를 전제한 것이다.


  따라서 원래 문을 고수할 경우 자동차를 탈 확률은 1/3이고, 다른 문으로 옮길 경우 자동차를 탈 확률은 2/3이다. 매릴린의 판단이 옳았던 것이다.


  이 사실이 널리 알려져서 그 코너는 그 후 폐지되었다고 한다.



3. 내용정리


  • (확률)은 수없이 많은 반복 시행을 통해 얻는 결과에 대한 비율이다. 
  • 확률 ( 0 )은 전혀 일어나지 않음을 의미하고 확률 (1)은 항상 일어남을 의미한다. 
  • 확률은 (0)과 (1) 사이의 실수값을 가진다.





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